我们从四个角度研究了各种理论的树振幅的散射方程和公式，这些理论和方程是基于旋子螺旋度变量和超对称理论的壳上超空间。 如最初在维滕的扭弦理论和其他扭弦模型中获得的那样，这些方程可以采用多项式或有理数形式，并且我们阐明了它们之间的简单关系。 我们为非线性sigma模型中的所有树幅提供了新的三维公式，特殊的伽利略理论和Dirac-Born-Infeld理论的最大超对称完成。 此外，我们使用这些公式研究这些理论中的各种双软定理，包括超DBI理论中一对超大振幅的软光子，费米子和标量的发射。