我们扩展了基于循环树对偶性（LTD）的四维不减法来处理涉及重粒子的过程。 该方法允许直接在被积分体级别上对退化的IR配置执行求和，从而可以在四个时空维度上直接实现NLO校正。 我们在真实运动学和虚拟运动学之间定义了一个总动量映射，该映射适当地解释了准共线性配置，并导致了平滑的无质量极限。 我们首先以标量玩具为例说明该方法，然后分析标量玻色子或矢量玻色子衰减成一对夸克的情况。 本文介绍的结果适合将该方法应用于任何多声子过程。

我们提出了一种新算法，以构造对次要顺序（NLO）的物理截面的高阶微扰校正的纯四维表示。 该算法基于环路树对偶性（LTD），并且通过在虚拟散射幅度的外部和环路矩与实际发射校正的外部矩之间引入合适的映射来实现。 这样，退化的红外态的总和在被积体级执行，并且红外散度的消除在局部发生，而无需引入减法对数来处理软态和最终态的共线奇异性。 还详细讨论了紫外线对标的双重表示形式，特别是对于自能量的贡献。 首先用标量三点函数说明该方法，然后再计算γ∗→qq g $$ {\ gamma} ^ {\ ast} \到