世界线形式主义是量子场论中的一个有用方案，它也已成为进行数值计算的有力工具。 这种形式主义的关键因素是辅助点粒子的第一次量化，其过渡幅度对应于场论量子涨落算符的热核。 但是，要研究局限于某些边界内的量子场，需要将辅助点粒子的路径积分域限制在这些边界所包围的世界线的特定子集中。 我们展示了如何在Dirichlet和Neumann边界条件下，将标量场限制在D维球上实施这种限制，并计算前几个热核系数，作为对我们构造的验证。 我们认为这种方法可以接受不同的概括。

最近，吉斯（Gies）和卡伯斯坦（Karbstein）表明，除了众所周知的单粒子不可约论之外，二环Euler–Heisenberg Lagrangian还获得了有限的一粒子可约简贡献。 在这里，我们证明了在一个循环中已经存在于恒定域中的传播子也存在相似的贡献，并且我们针对标量QED情况计算了该贡献。 我们还提出了使用世界线形式主义对Gies–Karbstein结果的独立推导，以统一的方式处理标量和旋转QED案例。