物质的短程纠缠拓扑阶段与拓扑量子场论密切相关。 我们使用此连接对低维的对称保护拓扑阶段进行分类，包括对称涉及时间逆转的情况。 为此，我们将Turaev对等变TQFT的描述推广到了无方向的情况。 我们证明，按照Chen，Gu，Liu和Wen的建议，在一个或更少的空间维度上的可逆的无定向等变TQFTs通过扭曲组同调被分类。 我们还表明，空间维度为2或更小的可逆定向等变TQFTs通过普通的群同调分类。

矩阵乘积态（MPS）提供了一个强大的框架，用于研究和分类以一维晶格定义的带隙量子相，尤其是对称保护拓扑（SPT）相。 另一方面，很自然地期望通过拓扑量子场论（TFT或TQFT）描述零相关长度极限内的带隙量子相。 在本文中，对于受对称性G保护的（1 + 1）维Bosonic SPT相，我们用MPS和G等变TFT来描述它们。 特别是，对于以前使用MPS构造的各种拓扑不变式（SPT不变式），我们从（1 + 1）TFT的角度提供了推导。 我们还将讨论边界自由度之间的联系，边界自由度是在SPT阶段引入物理