我们研究了一类特殊的P T $$ \ mathcal {P} \ mathcal {T} $$-对称量子模型,该模型是完全不可见的零间隙系统,在散射态连续光谱的最边缘处具有唯一的结合态。 该族包括PT $$ \ mathcal {P} \ mathcal {T} $$-正则化的两个粒子Calogero系统(de Alfaro-Fubini-Furlan的保形量子力学模型)及其有势扩展,其势能满足KdV层次方程 并表现出特别针对极端波浪的行为。 我们表明,来自Calogero子族的两个最简单的哈密