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上传时间: 2010-10-26
详细说明： NOIp2002普及组解题报告 题一： 级数求和 [问题描述]： 已知：Sn=1+1/2+1/3+…+1/n。显然对于任意一个整数K，当n足够大的时候，Sn大于K。现给出一个整数K（1<=K<=15），要求计算出一个最小的n，使得Sn>K [问题分析]： 这道题目非常简单，题目的意思已经把该题的算法描述得再清楚不过了，初始时Sn=0,n=0,然后每次循环nn+1,SnSn+1/n,，直到Sn大于K，最后输出K。另外实型(Real是最慢的，建议用Extended)的运算速度不是很快，而K为1~15之间的整数，所以最后可以交一张表（常量数组），以达到最好的效果 [参考程序]： 题二： 选数 [问题描述]： 已知n（1<=n<=20）个整数x1,x2,…,xn（1<=xi<=5000000），以及一个整数k（k1)是否为素数最简单的方法就是看是否存在一个素数a(a<=sqrt(P))是P的约数，如果不存在，该数就为素数，由于在此题中1<=xi<=5000000,n<=20,所以要判断的数P不会超过100000000，sqrt(p)<=10000，因此，为了加快速度，我们可以用筛选法将2…10000之间的素数保存到一个数组里（共1229个），这样速度估计将提高5~6倍。 特别注意：本题是要求使和为素数的情况有多少种，并不是求有多少种素数，比赛时就有很多同学胡乱判重而丢了12分；还有1不是素数，在判素数时要对1做特殊处理。 [参考程序] 题三： 产生数 [问题描述]： 给出一个整数n(n<10^30)和k个变换规则（k<=15）。 规则： 1个数字可以变换成另一个数字 规则的右部不能为零。 问题： 给出一个整数n和k个规则 求出： 经过任意次的变换（0次或多次），能产生出多少个不同的整数。 [问题分析]： 认真分析题目之后发现，本题搜索显然是不行的，而且对于只需计数而不需求具体方案的题目，一般都不会用搜索解决，其实本题不难看出，可以用乘法原理直接进行计数，用Fi表示数字i包括本身可以变成的数字总个数（这里的变成可以是直接变成也可以是间接变成，比如3->5,5->7,那么3->7），那么对于一个数a（用数组存,长度为n），根据乘法原理它能产生出F[a[1]]*F[a[2]]*F[a[3]]*…F[a[n]]个不同整数，相信这一点大家不难理解。那么现在的关键就是如何求Fi，由于这些变换规则都是反应的数字与数字之间的关系，这很容易让我们想到用图来表示这种关系： 1： 建立一个有向图G，初始化g[i, j] False 2： 如果数字i能直接变成数字j，那么g[i, j] True 容易知如果数字i能变成数字j，那么i到j必须存在路径，否则i是不可能变成j的，这样一来，Fi的求解就显得非常简单了，求一个顶点v包括本身能到达的顶点数的方法相当多，可以用BFS,DFS,Dijkstra,Floyd，这里介绍一种类似Floyd的有向图的传递闭包算法，该算法实现简单 ，在解决这类问题时比Floyd效率更高，所谓有向图的传递闭包就是指可达性矩阵A=[a[i, j]],其中 a[i, j] = True 从i到j存在通路 a[i, j] = False 从i到j不存在通路 所以有向图传递闭包算法只需将floyd算法中的算术运算符操作‘+’用相应的逻辑运算符‘and’和’or’代替就可以了，其算法如下： for k 1 to n do for i 1 to n do for j 1 to n do a[i, j] = a[i, j] or (a[i, k] and a[k, j]) 最后值得注意的是当n很大时输出可能会超过Comp类型的范围，所以要使用高精度乘法，由于高精度算法是信息学竞赛中的基础，这里就不在详述。 [参考程序] 题四： 过河卒 [问题描述]： 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。 同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。 棋盘用坐标表示，A点(0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数 [问题分析]： 这是一道老得不能再老的题目了，很多书上都有类似的题目，NOIp97普及组的最后一题就和本题几乎一模一样。有些同学由于没见过与之类似的题目，在比赛时用了搜索，当n到14，15左右就会超时，其实，本题稍加分析，就能发现：要到达棋盘上的一个点，只能从左边过来或是从上面下来，所以根据加法原理，到达某一点的路径数目，等于到达其相邻上，左两点的路径数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起始顶点到重点的路径数目，即使有障碍（我们将马的控制点称为障碍），这一方法也完全适用，只要将到达该点的路径数目置为0即可，用F[i,j]表示到达点(i,j)的路径数目，g[i,j]表示点(i, j)有无障碍，递推方程如下： F[0,0] = 1 F[i,j] = 0 { g[x,y] = 1 } F[i,0] = F[i-1,0] {i > 0, g[x,y] = 0} F[0,j] = F[0,j-1] {j > 0, g[x,y] = 0} F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-1] {i > 0, j > 0, g[x, y] = 0} 本题与第三题一样，也要考虑精度问题，当n,m都很大时，可能会超过MaxLongInt,所以要使用Comp类型计数(Comp类型已经足够了，即使n=20,m=20，没有任何障碍的情况下的结果也只有14，5位的样子)。 [参考程序] 总结: 四道题目其实都很容易,要想到正确可行的方法并不难,考察的是大家的编程基础,一些基本算法的简单应用,并不需要什么优化技巧,关键是看大家对这些基本算法是否已熟练掌握,只有熟练掌握这些算法,在考试中才能在较短的时间内做好每道题,我们一定要重视基础! ...展开收缩
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