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详细说明： 第一章 初等代数部分....................................................................................................................................................... 1 一、 数的运算律.......................................................................................... ............................................................. 1 二、 数列与简单级数 ............................................................................................................................................... 1 1.等差数列性质 .................................................................................................................................................. 1 2.等比数列性质 .................................................................................................................................................. 1 三、对数公式............................................................................................................................................................. 1 四、复数..................................................................................................................................................................... 2 五、平面三角函数公式 ............................................................................................................................................. 3 1.特殊角的三角函数值 ...................................................................................................................................... 3 2.基本关系 .......................................................................................................................................................... 4 3.加法公式 .......................................................................................................................................................... 4 4.和差化积公式 .................................................................................................................................................. 4 5.积化和差公式 .................................................................................................................................................. 5 6.倍角公式 .......................................................................................................................................................... 5 7.三角函数的相互关系表 .................................................................................................................................. 5 8.一般正弦型三角函数的图像性质................................................................................................................... 5 六、一元二次方程..................................................................................................................................................... 6 七、双曲函数............................................................................................................................................................. 6 第二章 初等几何部分....................................................................................................................................................... 7 一、平面几何基本定理 ............................................................................................................................................. 7 1.勾股定理 .......................................................................................................................................................... 7 2.三角形重心 ...................................................................................................................................................... 7 3.圆的割线定理 .................................................................................................................................................. 7 4.正弦定理 .......................................................................................................................................................... 8 5.海伦公式 .......................................................................................................................................................... 8 6.双线性插值 ...................................................................................................................................................... 8 二、 立体几何........................................................................................................................................................... 9 1.基本形体的面积与体积公式........................................................................................................................... 9 第三章 射影几何部分..................................................................................................................................................... 10 一、射影平面与齐次坐标 ....................................................................................................................................... 10 1.扩大的欧氏平面 ............................................................................................................................................ 10 2.点的齐次坐标 ................................................................................................................................................ 11 二、齐次坐标下的直线 ........................................................................................................................................... 11 三、点列及线束的交比和调和比，完全四点形的调和性.................................................................................... 13 1.同一直线上四点的交比和调和比................................................................................................................. 13 2.线束里四直线的交比和调和比..................................................................................................................... 15 四、射影变换与射影坐标 ....................................................................................................................................... 16 1.一维基本形间的射影对应和透视对应......................................................................................................... 16 2.一维射影变换和射影坐标............................................................................................................................. 18 3.平面上的射影变换 ........................................................................................................................................ 20 4.平面上的射影坐标 ........................................................................................................................................ 20 第四章 平面解析几何..................................................................................................................................................... 21 平面上两点间距离公式 ................................................................................................................................... 21 线段的定比分点 ............................................................................................................................................... 21 三角形重心的坐标 ........................................................................................................................................... 21直线的斜率....................................................................................................................................................... 22 直线方程........................................................................................................................................................... 22 两条直线平行的条件 ....................................................................................................................................... 22 两条直线垂直的条件 ....................................................................................................................................... 22 两条直线所成的角 ........................................................................................................................................... 23 平面上一点到平面上一条直线的距离 ........................................................................................................... 23 圆的方程........................................................................................................................................................... 24 经过圆上一点的圆的切线 ............................................................................................................................... 24 经过圆外一点的圆的切线的求法 ................................................................................................................... 25 椭圆的标准方程 ............................................................................................................................................... 25 第五章 空间解析几何..................................................................................................................................................... 25 一、矢量运算........................................................................................................................................................... 25 二、直线和平面的方程 ........................................................................................................................................... 28 三、几何变换........................................................................................................................................................... 30 1、二维几何变换 ............................................................................................................................................. 30 2、齐次坐标下的二维几何变换 ..................................................................................................................... 31 3、变换的分类 ................................................................................................................................................. 32 4、变换群与几何学 ......................................................................................................................................... 41 5、Iterative closest point registration.................................................................................................................. 42 四、常见二次曲面................................................................................................................................................... 42 五、坐标变换........................................................................................................................................................... 43 1.平面的仿射坐标变换 .................................................................................................................................... 43 第六章 古典微分几何..................................................................................................................................................... 44 零、 Prerequisite........................................................................................................................................................ 44 1．Tangent vectors ............................................................................................................................................ 44 2．映射 mappings ............................................................................................................................................ 46 3．Covariant derivatives..................................................................................................................................... 47 相关习题........................................................................................................................................................... 49 一、微分形式........................................................................................................................................................... 50 1．一次形式 1-forms....................................................................................................................................... 50 2．n 次形式 n-forms........................................................................................................................................ 51 3．微分形式 differential forms ........................................................................................................................ 52 4．二次微分形式的积分 integrating differential 2-forms ................................................................................ 52 5．微分形式的导数 ......................................................................................................................................... 53 相关习题........................................................................................................................................................... 54 二、曲线论............................................................................................................................................................... 56 1.自然参数 ........................................................................................................................................................ 56 2.切触阶 ............................................................................................................................................................ 58 3.Frenet-Serret 公式........................................................................................................................................... 59 4.定倾曲线 ........................................................................................................................................................ 64 5.平面曲线 ........................................................................................................................................................ 65 6.曲线论其他相关概念 .................................................................................................................................... 67 7.曲线论习题集 ................................................................................................................................................ 67 三、曲面论............................................................................................................................................................... 68 1.曲面的切平面、法向量和法线..................................................................................................................... 68 2.曲面的第一基本形式 (first fundamental form) ............................................................................................. 693.曲面的等距变换和等角变换......................................................................................................................... 72 4.曲面的第二基本形式 .................................................................................................................................... 74 5.曲面曲线的法曲率 ........................................................................................................................................ 76 6.主方向，主曲率与曲率线............................................................................................................................. 77 7.Gauss 曲率和平均曲率................................................................................................................................. 81 7.测地线与测地曲率 ........................................................................................................................................ 81 8. Special issue on Image surface......................................................................................................................... 82 9.曲面论习题集 ................................................................................................................................................ 82 四、仿射微分几何初步 ........................................................................................................................................... 83 五、 Special issue: Numerical geometry of images ................................................................................................... 85 1.曲线与曲面的演化 (evolution of curves and surfaces)................................................................................... 85 第七章 线性代数............................................................................................................................................................. 86 一、行列式............................................................................................................................................................... 86 二、矩阵基础........................................................................................................................................................... 87 1.矩阵的基本性质 ............................................................................................................................................ 87 2.可逆矩阵 ........................................................................................................................................................ 87 三、线性方程组求解 ............................................................................................................................................... 88 四、线性空间........................................................................................................................................................... 90 1.线性空间 ........................................................................................................................................................ 90 2.基变换和坐标变换 ........................................................................................................................................ 90 五、矩阵的特征值与特征向量 ............................................................................................................................... 91 六、相似矩阵与矩阵的对角化 ............................................................................................................................... 93 七、正交矩阵与实对称矩阵的相似对角矩阵........................................................................................................ 94 1. 正交矩阵 ...................................................................................................................................................... 94 2. 对称矩阵 ...................................................................................................................................................... 95 八、向量与矩阵的微积分 ....................................................................................................................................... 96 1. 向量和矩阵函数对标量变量的导数........................................................................................................... 96 2. 标量函数对向量变量的导数....................................................................................................................... 96 3. 向量函数对向量变量的导数....................................................................................................................... 97 4. 标量函数对矩阵变量的导数....................................................................................................................... 97 5. 常用结论 ...................................................................................................................................................... 98 九、估计理论......................................................................................................................................................... 100 1.最小二乘法 .................................................................................................................................................. 100 第八章 概率论............................................................................................................................................................... 101 一、阶乘、排列与组合 ......................................................................................................................................... 101 二、随机事件及其概率 ......................................................................................................................................... 102 1．概率的基本运算 ....................................................................................................................................... 102 2．条件概率 ................................................................................................................................................... 104 3．全概率公式及其应用 ............................................................................................................................... 105 4．Bayesian 公式............................................................................................................................................. 106 5．事件的独立性 ........................................................................................................................................... 106 6．贝努利（Bernoulli）试验模型 ................................................................................................................. 107 三、随机变量及其分布 ......................................................................................................................................... 107 1．随机变量的分布函数 ............................................................................................................................... 107 2．离散型随机变量及其常见分布................................................................................................................ 108 3. 连续型随机变量及其概率分布................................................................................................................. 1104. 离散型随机变量的函数的分布................................................................................................................. 115 5. 连续型随机变量的函数的分布................................................................................................................. 115 四、多维随机变量及其分布 ................................................................................................................................. 117 1. 二维随机变量及其分布 ............................................................................................................................ 117 2. 二维随机变量的条件分布......................................................................................................................... 119 3. 随机变量的独立性 .................................................................................................................................... 120 五、随机变量的数字特征 ..................................................................................................................................... 121 1. 随机变量的数学期望 ................................................................................................................................ 121 2. 随机变量的方差 ........................................................................................................................................ 122 3. 协方差，相关系数和矩 ............................................................................................................................ 123 4. 条件数学期望 （conditional expectation） ............................................................................................... 124 5. Moment generating function ......................................................................................................................... 125 6. Factorial Moment generating function........................................................................................................... 126 六、大数定律和中心极限定理 ............................................................................................................................. 126 1. 大数定律 .................................................................................................................................................... 126 2. 中心极限定理 ............................................................................................................................................ 127 七、数理统计之基本概念 ..................................................................................................................................... 128 八、随机过程之基本概念 ..................................................................................................................................... 129 1．Poisson process .......................................................................................................................................... 129 2．Birth and death process............................................................................................................................... 130 第九章 高等数学部分................................................................................................................................................... 131 一、基本函数的极限 ............................................................................................................................................. 131 二、导数与微分................................................................................................................... ...展开收缩
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