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上传时间: 2018-02-19
详细说明： 欧拉函数 ： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 完全余数集合： 定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。 有关性质： 对于素数 p ，φ(p) = p -1 。 对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。 这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。 欧拉定理 ： 对于互质的正整数 a 和 n ，有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。 证明： ( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ， 则 Zn = S 。 ① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。 ② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。 ...展开收缩
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