数值分析--快速傅里叶变换.pdf经典快速傅里叶变换的练习题，有详细的解答过程，有深刻的归纳总结，F

文件名称: 数值分析--快速傅里叶变换.pdf

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详细说明：经典快速傅里叶变换的练习题，有详细的解答过程，有深刻的归纳总结，FFT N=E4 幅度部分 5 BO 52-15105 05 相角部分 0.5 -05}- 5105005 图5-3 图5 例7令X(n)=(·0.9)",n-[·5:5],讨论其离散时间傅立叶变换的共轭对称性例8比较序列x(t)=c0s(80πt)分别经过ft和ift变换后的序列解: MATLAB命令窗凵输入如下解:n[5:5]; k=-20:20;W=(p/100xk t=:0.0:F %时域数据点 =x*(eXp(·j*pi/100)).n*k g=n*2*pi/N %频域数据点数 X=C0S(80·pi*t); u bolot(2, 1, 1): pl ot(N/pi, macx: gri d; Y=real(ifft(fft(X))) tite("幅度部分) subplot 2, 1r:) sublot(2, 1, 2)i pl ot(N/pi, ang/p)i gri d; ite('相角部分) tite("原信号如图5-4所示 subp0t(2,1,2); plot(t, y) title('两次变后恢复的信号) 如图5-5所示原信号 05 400 SUU 5 -1 0 05 15 25 35 两次变换后恢复的信号 0 05 15 25 5 图5-5 图5-6 例9已知模拟信号x()=2sin(6π1)+7c0(8D求N=128点DFT的幅度谱和相位谱。例10已知一迕续时间周期信号x(t)2cos6πt+4sin10πt,现以不同的取样率(a)fsl-16样点/期解: MATLAB命令窗∏输入如下: (b)fs2=8样点周期,对它进行取楟。试分别求出取样后周期序列的频谱并于原始信号的频谱作一比较。 =0:127: 解:(a)按f;:=16,T:=1/16 t=0:001:127 %时域数据点数 gNpi/N %频域数据点数所以 X-2sin(G pi*t)-7*cos(8 pi*t) Y-fit(X, N) subplot(2, 1, 1) -fteL plot(q abs(Y)) plot(2,1,2); 2u6买一n十4如10x亠N plot(q angle(Y)) 如图5-6所示 =2c08二器+4ain=x 每一周期取样点数N=T。/7s=16,则 x(k90=古∑xx)e (b)同理可求得当s=8样点/周期时长) K(kg20=乙x(n)e -0 对应频诺= 小结一7市7 (〕离散时间周期信号的颎谱冫(kΩa)是具有谐波性的周期序列,而连续时间局期信号的频谱Xk 了了可734567-节 ω是具有谐波性的丰周期序列。XkΩ)可以看作X(kω的近似式,近似程度与取样间隔T值的选取有关图 (2)在满虍取样定理的条件下,从·个连续吋间颊带有限的周期信号得到的周期序列,其频谱在例13已知一周期连续频谱如图5-8所示,求其相应的序列。 Ω|<π或f<(5′2)范围内等于原始信号的离散频谱。因此可以利用数值计算的力幅度频塔法,道过计算机,方便的截取一个周期的样点xn),准确的求出连续信号的各谐波分量Ⅹ(k (3)在不满足取样定理条件下,由于X(kΩ。)出现频谱混叠,存在混叠淏差。当误差比较小时,X (k90)在00) WW彐w5W9 a +yo 0 频 1 j 2 相频例15对实信号进行谱分析,要求谱分辨率F≤10Hz,信号最高频率fe=2.5KHz试确定最小纪录时间 Temin,最大的采样间闌Tmax,最少约采咩点数Nmin。如果f不变,要求谱分辨率增加倍,最少的采样点数和最小的纪录时间是多少? 解:⑦ 1 因此,Tmn=0,1s。因为要求「s≥2fc,所以 2=9.2m8 T (O) cxp(-io t)x(odt Nmin=2J=500 2I exp( -io t)dt- 为使谱分辨率提高一倍,=5H2,要求 27 2250 5.编写一个M文件,代码如下 54习题解答或提示 function y=dft(x, N) 略 x为输入信号求对称指数函数『(0)的傅立叶变换 %N为所取的点数 for m=1: N yk)=y(k)x(m)*exp(-j*2“pi*(k-1)*(m-1)N); F(o= ld ld (a);在命令窗∏中运行x=[11-1-1dr(x,4) 计算*,Y*对应项的乘积到z 结果如卜 2=(z0,1…,zm1,z≡xyi 02.0000-2.0000i 2.0000+2.0000i 计算Z*的反傅立叶变换乙,并将各项除以2n (b):在命令窗口中运行y=[234];df(y4) 结果奴下 Z=(=0,x1…,z2n1)=F2(∠*) 100000 2.0000+20000i 然后重新整坦系数石到正常格式,得 -2.0000-0.0000j 0000-2.0000i 这么做等于计算Z-XY. 6.提示:参考例6的解答注意在Ⅹ的系数后添加高次零项使n化为2的正整数次幂,Y也是 7.提示:参考例10的解答凡,进行了3次大小2n的FIT,和一纠系数相乘(叫忽略),因此它的复杂度是3次大小2n的IFT 8.提示:参考例10的解答计算平方时,只需进行2次人小2n的FFT 9.解在命令窗匚中输入X=[12340123] 让我们来看个具体实例(月100进制:45672- 结果如下 Col umns 1 through 4 15.0000 1.0000·2.4142-4.0000+4.00001.000·0.4142 A=(45670000){补零 45,0067,00 {分成奇,偶两组 4,0000 1.0000+C,41421·4.0000·4.0000i1.0000+2.4142i 0.解:1直接调用 mat l a b中的命令fit 在命令窗口中输入x-[1 4505700 1·1]fft(x) 每纠再分成奇,偶两组.分继完成} 结果如下 2.0000·2,00000 2.000+2.0000i b)在命令窗冂中运行y=1234],ft(y 结果如卜 5,4567,67 {开始变换:bk=ck+wd,bn+=ck-Wdk} 10.0000 2.0000+2,0000i 2.0000 2.000C·2.0000i 45-67i{变换完毕 1.解 12544,-2464+6030i,484,-2464-6030各项平力} 设两个大整数可写成如下形式:X=P(B,Y=O(B).B是基数(斌常B=10或10的正整数次方可以看作P,Q是两个多项式 12544,484-2464+6030i,-2464-6030{分成奇偶两组} P()=∑x,B,Q(z)=∑yB 125444842464+5030i-2464-6030{每组再分成奇,偶两组分组完成} 有亡们的乘积R(z).那么XY-R(B).这样,问题转为求两个多项式的乘积而一个不超过m次的多 13028.12050-492812060{反 FFt b=ck+w+dk,bmk=ck-W+dk 项式可以月m个点(当取m个不同值时的R())来表示.并且适当的点值表示的多项式相乘可以在 O(m)的时间里完成.问题是怎样把多项式快速转为点值表示法 8100,24120,17956, 变换完毕} m个z应取1的单位复数根W.即 2025,6030 4489 {各项除以四} W.=e 2a =o.o=e2m 225 设n是2的幂.且两个大整数X&Y的系数小于n 6030 X=>xB, y B 在时间O(nlog(n),计算=XY在时间 O(nlog(n)、执行下列步骤计算大小为2n的傅立叶变换x的序列(x) 20857489 加起来} Ⅹ=(X0,x1,,.x2n1)=F2n(x),x1…,xn1,0,…0) 冉用计算器验算一卜,没错叫! 同烊,计算Y的傅立叶变挨(y) note:数字错误 1)=F21( 10,,) 由于w不可能精确储存(一般是无理数),所以会产生误差,当误差<.5时,可以容忍,<.25时最

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