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详细说明：DSP算法应用与设计（九）.pdfpdf,DSP算法应用与设计（九）.pdf462第三部分理论和实践注意,后馈系数与H(Q)的分母项极性相反。这很容易导致错误!b2的重要意义在于,它 902的幅值是x平面上极点半径的平方,而b则是极点半径实部的两倍。表94给出了在实现和单位增益带通振荡器相应的离散滤波器时,对应的理想Q值和振荡频率的前馈和反馈系数。同样, 这也是二阶陷波滤波器部分系数的参考资料。二阶滤波器的DSP实现在网站上也有资料提供。心-四圆心心。丧9-4二阶滤波器设计参数(冲激不变式} H(2) 带通带阻 0 2b/(1-b b 2 exp(=o T /22)cos(or) 2 exp(a /2)cos(aT) b2 P( O TiQ -exp(-mnT/e) (1+b2 k (1-b)/(1+b) G ,0 1.0 w=2ct=resonant frequency u=1-14Q2 2.通过直接放置零极点来设计当需要设计具有指定特性的滤波器时,可以直接获得H(z)零极点的合适位置。在前面的例子中(将单位圆零点放置在合适的幅角处以实现无穷衰减),我们已经证明了这一点。在这部分屮将给出此类技巧的另外两个例子。将一对零点置于单位圆上,幅角为a,就可以将过去的带通滤波器设计改变为带阻滤波器。在处会发生无穷衰减。阻带宽度是由原带通设计的Q值决定的。带阻滤波器的传输函数是 z-2 COSaaT)z11 II(4=2-2 exp(-aT5)cos(oa)z+ exp(-2aT) 3.将低通转变为带通和高通使用合适的变换过程,带通、带阻、以及高通滤波器都可以由低通传输函数来合成。下面列出离散传输函数H(2)的变换方法以便使用。图948和图949表明了这种变换。如果低通传输函数是一阶的,那么获得的高通传输函数也是阶的。它们的极点位置几乎一致,但是零点从非常接近z=0的位置变换到接近z=1的位置(直流处几乎为无穷衰减)。然第9章算法的理论依据463 而,相应的带通和带阻传输函数是二阶的:零极点位置与前述直接合成方法的结果相近。图948滤波器变换的z域描述:a)低通原型;b)高通变换;c〕带通变换;d)带阻变换 H(I b) F(fE f/2 图94图948所听示滤波器的幅值响应:a)低通;b)高通;c}带通;d)带阻离通变换(3B頻率等于f 将H()中的换为 +cos(27了-1-c0(27f72 带通变换(中心频率为,3dB频率带宽等于f, 464第三部分理论和实践将H()中的2替换为 C cos(2 oT az+l (25) 带阻变换(中心频率为6,3B频率带宽等于f) 将H(2)中的替换为 [2a/(k+1)]z+(1-k)/(1+k) 1+{2a/(k+1)z+[(1-k)/(1+k)]2 其中k=tan2(xT),a=Cs27T)os(2nmfT 4.选择一种滤波器结构实现一种特定种类滤波器所需结构在很大程度上取决千推导()的方法。若使用双线性变换方法,如图950所示的方法比较合适。较之一个单一n阶系统,更好的方法是使用二阶方块级联,因为这样对系数精确性的要求不那么高。级1 级2 +a、012 7+a、z十自 H(2)= b,,-b 2122 图950用二阶部分级联的方法实现四阶滤波器旦H(x)的极点和零点确定下来,它们可以这样映射到如下的二阶部分中去。 1)在其他零极点决定之后,最高Q值的极点对与最近的零点对最后放置于合适的位置。如果原型的阶数为奇数,需要一个初始的一阶部分。滤波器系数与二阶零极点值的关系如图 9-50所示。 2)为了预防内部溢出和过剩的信号量化,每个级联部分的输入必须被缩小或放大。这个过程在第93章节中有详细介绍。 3最终的增益修正乘法器可以放在所需的任意位置。实现一个基本的一阶传输函数可以有很多方法可以选择。然而,上述的方法是最普遍使用的。将二阶部分连接起来以实现高阶滤波器也有很多方法可供选择。我们将简单介绍并行法(如图951所示)。格型结构将在稍后的部分中与最小平方设计法一起讲解。严格来说,某种结构可以实现最好的信噪比,或与其他结构相比,刈系数量化不敏感。格型结构具有内部稳定性(不论系数量化是否存在)的优点,所以特别易于实现自适应滤波器。第9章算法的理论依据465 e四四,慘图951由二阶部分并联实现四阶滤波器如果设计是基于冲激响应不变式的,那么使用一阶部分和二阶部分的并联形式比较方便。在第931章节中已详细阐述这种设计方法。如果H(z)是通过直接方法来获得的且假定具有极点,那么图950或是图9-51的结构都能使用。在全零点的情况下,图939所示的FR结构比较适合。 5.检查溢出情况在定点DSP实现中,有必要保证输出样值小于1。这意味着滤波器增益一定不能超过1 (假设最大输入电平为1的情况下)。实际上,一个更严格的条件是很有必要的。考虑如图947 所示的二阶IR滤波器实现。a乘法器的输入端信号是输入样值和经过两个时延的输出值的权重和。很明显,尽管整体的滤波器增益小于1,还是可能在这里出现溢出,这取决于反馈系数值。所以,为了避免二阶IR滤波器部分的溢出,有必要佔算不同累加点的数值大小。如果超过了1,则要相应将滤波器输入值缩减。对于一个z平面,若极点位于 z=exp(-aT)∠±(∞T) 的二阶部分,输入累加点的增益G大约为 1/[(1-exp(-aTS)exp(-aT /2)2lsin(ad To)l] 如果已经保证了累加点的最大增益为1,我们还需要检验累加点与输出点之间的增益。而且,可能的话,前馈系数需要缩放,使得整个滤波器的增益为1。庆幸的是,缩放工作可以放心交给CAD系统来完成,在一些比较新的滤波器设计包中有它(参见工具箱T)。如果处于级联系统中,且还有后续部分的话,第一级的输出缩放可以与第二级的输入缩放合在一起完成。缩放因子在级联系统中的分布必须遵守整体的信噪比以及设计的系数量化。这些部分在第 466第三部分理论和实践 9133章节将通过例子详细介绍。 913高阶滤波器设计理论 913.1R滤波器设计当感兴趣的只是系统的幅值特性,而可以放宽对非线性祁位特性的要求时,无限冲激响应的滤波器邇常是最佳的选择。当设计对系数量化的灵敏度要求严格,或是经具有足够的处理能/并要求发挥FR滤波器的绝对稳定性和设计简单性的特点时,以上规则才不适用。所有的1R滤波器同时具有z平面的零点和极点,并使用递归结构实现。最通用的设计技巧有 1)双线性变换。它可以从一个已知特性的模拟传输函数中推导出合适( 2)沖激响应不变 3)直接的零极点放置 4)钅对所需特性,通过最小平方的方法获得极点位置。方法(1)、(2)和(4)在本章屮讨论,而方法(3)在第922节已作过详细阐述当滤波器是频率选择响应的五个标准类型之一时,使用发线性变换是非常方便的。当相应的拟系统冲激响应h(t)必獗满足采样时刻的最小相位冲激响应时,我们使用冲激不变式的方法:(在这种情况下,出于混叠的影响,频率响应和特定系统不匹配。)直接的零极点放置方法适于实现简单的阶响应和振荡器。最后,当要求对特定阶数的滤波器进行最佳实现时, 我们使用最小均方根的方法。 ].双线性变换这个方法用米设计一个与模拟原型传输函数H()具有相同特性的离散传输函数H(z)。说得更确切一些,就是它们都有通带和阻带,具有相同的通带纹波和阻带衰减。惟一的不同是标志响应特征的频率。这是出于连续系统的頻率响应范围是岺至无穷,然酧离散滤波器中幅值的变化必须限制在零至的范围内(如图95所示。该过程中使用频率变换这个术语注意,在原型滤波器中使用复频率变單s,以区别于H(x)连续传输函数H(s)丰的复频率变悬s,H(s)能用DSP系统实现。5·与离散滤波器H(有关双线性变换方法的伏点是使大量口有的模拟滤波器设计理论能够直接运用于数字滤波器的设计。给定一个滤波器的种类和阶数,可以精确地计算它的通带纹波,过渡带宽以及最小的阻带哀减。同样,对于一个特定的模板和滤波器种类,我们前以准确估算出满足特定要求约滤波器阶数。使用双线性变换设计H{x)的步骤妇下。 1)指定H()作为模板。 2)推导H{)的模板。 3}寻找H()的相应模板(预失真) 4)使用标准近似方法(巴特沃恩、切比雪大和圆方法)寻找H(S)的零极点。 5)从H(s")批导H) 6)必要的话,修正直流增盜。本节后面给出了一个滤波器设}的例子。我们现在摧导H(z)与相应糗拟滤波器烺型Hs)之问的关系。为了使实际滤波器实现H(s) 与模拟原型()精确相等,需要笫9章算法的理论依据467 d 图952模拟沫器无限响应变换为离散滤波器无响应 H(9)=H42)=H( 或 )=H4( 很遗憾,这样并不能实现一个有理的(即可实现的)H(x)。然而,如果log(x)接近于下式 logn()=2(21)(z+1 那么用(2/r(2-1)(z+代s得到的H(2)是可实现的。这种变换事实上是将平面上的整个虚轴映射为z平面上的单位圆(如图9-53所)。结果,在单位圆上获得点。在这点上, H)的幅值利相位响应等亍模拟原型对任惹频率f的响应。角切的映射是 12f=(17)(z-1)(z+1) 所以 z(1+ jif'T)Ri -"'Ts 为了找出数字滤波器响应中对应模拟原型厂的频率f,可以将z扩展得到 z=os:2)+n(2)=1+jT(1-j7) 解这个等式,并使用三角恒等式 28=2 tan el (l-tan o 1o8第三郾分理论和实戏平面 z平面图93刘线性变换将平面唤射为平面得到 =(Iiπ T)arctan(πfT 为了使用双线性变换,所需H()的频带边缘用下式映射到模拟原型赖率∫ ∮'=11!F) tan(TfT 根据近似标准滤波器(巴特沃思、切比雪夫等等)的已知特性,我们可以通过有滤液器参数表的书籍或滤波器的设计敦件包来获得满足P模板的H(S)安极点。最终使用以下替代公式 2/z-1(z+1) 来获得离散传输函数。如果=g是H(s)的一个零点或是极点,那么H(z)具有相应的零点成圾点,为 z=l1+(72)]/1-(T,门2 同样,可能在zx处存在零点或极点(这取决c是否为极点或零点)。正如第922节所述,需要的话,低通H()可以变化为其他各种标准种类的滤波嵛(带通、高通、以及带阻) 在小节稍后的部分,我们将给出另一个例子 2选择滤波器逼近下面简单介绍二种主要的滤波器逼近:图954至图957表明了它们的实际设计要求。每种滤波器都满足相同的低通公羔要求(人约为+042dB的通带纹波,26dB的最小阻带衰减, 6=5=0.05,过渡频带从015至2 巴沃思l阶双线性变换 1.0 恒E￠6 0.4 Q,2 0 0.2 0.3 05 彩频率卣分比图9.54满足特定耍求的巴特沃思滤波器第9車算法的理论依据459 为了满足要求,所需的滤波器阶数为: 滤波都种类波器阶数巴特江恩切比雪大椭圆 4 圳比雪大】:6阶双线性变换 12 0. 8 哗06 04 02 02 0-5 采样频率百分比图955满足特定要求的切比雪夫第一类滤波器切比“大2:6阶双线士变换 12 OR 型0.6 02 02 03 04 D5 采样频率百分比刚9物满足特定要求的切比雪夫第二类滤波器椭圆:4阶双线性变换 1.2 08 自5 4 02 0 01 2 0.3 04 05 采样频率分比图957满足特定要求的椭滤波器

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