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详细说明：DSP算法应用与设计(七).pdfpdf,DSP算法应用与设计(七).pdf342第二部分DSP算法工具萄四点的DFT也享有两点DFT的无须乘法的特性。所以如果N是4的次方的话,可以采用听请的基4算法。分解的办法和7.38小节肀的一样。和基2的情况一样,可以定义基4的蝶形结, 该蝶形结包括与旅转因子相乘的4点DFT。图732是基4蝶形结的图示。对于一个16点的DFT, 需要32个2点DFT,也可以只需要8个4点DFT还可以采用多基和混合基的FFT。但是由于对可用N的限制以及速度提升得不明显,超过4的多基算法不常用(见参考文献76 图3-32基4D蝶形结的表乐方法 74.5采用特殊指令和结果许多通用的DSP处理器都们为了提高F处理速度专设计的结构和特殊指令。比如说双内存”就意味着单个指针就可以指小一个信号样值的实部和虚部。如果有两条地址总线, 就可以同时存取。自动模N记数叮以降低刈F印循环和地址指针迸行管埋的廾销。有些处理器有专门的硬件控制代码循环,使得猾环结构的开销乎为零,同时提供序号二进位反转的专门指令(见参考文献72、73、7.4和175) 74.6纯实数变换处理基带信号时,所有输入信号元粼的虚部为零。所以相应的,谱的实部和虚部相对于原点分别呈奇对称和偶对称:(参看图7-27实际变换实例〕这意味着单个N点DFT吁以同时处理对彼此独立的基带信号在对个基带信号进行N点的DF时,输出结果的上平部分就己经包含了所有的信息。因此在 DIF FFT的最后一步可以釆用-种特姝的蝶形结,让它只计算上个引脚的输出。砻要取得更高的效率,住进行基带信号的N点D时,用N2点的DF就可以完成(见参考文献71 74.7性能比较从以往的经验来看,在确定了处仟务和DSP器件之后,还有很大的空间可以对算法进行裁剪,进而可以充分挖掘数据的特性和器件的指令集。如果要取得高的速度,有三种途径: 线性缃玛、多重蝶形结和基4或基8分解。每种技术都有其特点。在参考文献77中更多用来实现DFT算法的基于DSP的玳序。 75用DFT处理连续信号目前为止,我们巳经积累了足够多的关于DFT实现的知识,现在我们来进一步讨论它 __第7章应周工具病团:频迸分析343 在信号频谱分析中的实际应用。我们先考虑一些基本信号的DFT响应。这些周期信号的频率是釆样速度的整数倍a然后我们再考虍邶些非特定频率的周期信号。最,我们在77小节, 考虑随机非周期信号(比如说语音信号)的分析 75.1离散信号的博里叶变换正如72小节中所定义的,DFT实质上是N个复数到另外N个复数的峡射。我们可以把DFT 看成是在面单位园上均匀分布的离散序列的变换。本节主要解释DF与理想采样的连续信号的傅甲叶变换之间的关系。DFT是缩减连线或离散信号频域信息的有力工具对周期采样信号的傅里叶变换就生戒了一批复数到另一批复数的映射。如果周期为T,采样间隔为了,颗就是内一系列间隔划=的脉冲组成的,而且频域上也是周期的(由于吋域釆样),周期=1/T、囚此吒峨上一个周期对应N=Tr个复数,频域上的-个周期对应 =T=N个复数.两若之间的联系是傅甲叫变换使用第9章的理论和结果,很容易就能得到傅里叶变樵和DFT之间的关系。这里,我们只筠单将两者的关系作为规定给比规则N点D的輸出可以解榉为连续带服周期信号(其一个周期上的采样点构成DFT 的输入)的傅里叶级数图7-3裴小的就是这个舰则。要准确地理解这一规则,我们还要解释一下“带限”、傅里叶级数和的定义。时间 b 离散时间 17 离散频卒缩放因了鲁 A个垒童 -1/01 率 7-33果F的输入是周期连续信号的样值,则输出结果就是原来信号的傅里叶级数乘上因子N(假设信号足充分带限的 44第二部分D5F算法具莉如果DFT的输入足用频率采样的一个信号,则这一信号的最高频率必须小j∫2,也就是采样频卒的一半。加上这个限制,只能由个连续信号生成采样序列。等效的傅里叶级数是那些信号的复指数系数。如第9单所述,这些复数也是信号傅里叶变换中脉冲的权重。第k个谐系数幅值的一半就是该频率正弦波分量的振幅,系数的角度就是正弦波的相位。在用定点DSP实现时,DFT算法屮使用缩放是很普遍的。这样使得输入在≤1的情况下, 输出也≤1。适当的缩减因子是lAN。本书中,7,2小节的标准定义〔不包括缩减因子)在没有特别注明的情况下是普遍使用的强调一点:尽管周期连续信号里的信息已通过样值给出了,DFT输出和这个信号还是有关联的。举例来说,离散序列],0,-1,0的DFT是0,2,0,2。如果输入序列是连续信号经间隔T采样生成的,只要其带限在2之内,我们就可以重构原始的连续信号了。根据第9章的内容,惟能产生这些采歼值符合频率背限的信号是 x(r)=cos(2It/4T.) 行傅里叶变换后,结果是 X(=6(f-6)+b(f+5) 1/4 这相当于在频率f和∫4处模值为12,在其余地方均为零的倞里叶级数这利DFT的输出序列怎么联系起来呢?要发现其→致性,有必要再清楚地解释一下DFT 序号的意义。如规所要求的,对DFT输出乘上系数=1A4之后,有 X(014=0X1)14=12X(24=0X(3)4=1/2 序号小于N2时、样值数〔序号)直接给出了正傅里叶级数分量的谐波数,对于余下的, 对应于负傅里叶级数分量,庐号给出的诸波数目少十N2。由DF给出的傅里叶级数的系数是 X2=12x=0X1=12 为∫获得角形一边吊傅里叶级数分量,只取前A2序号,用2换算样值,即 a X,=1 7.5.2使用DFT中的实际问题我们己经看到,当用DFT来求带限连续周期信号的傅里叶级数时,只要DFT块的长度是信号周期的整数倍且N2大于最大的非零谐波,计算的结果就是正确的。在对样的周期信号求傅里叶级数时,只要符合卜述条件,结果也是正的。然而,DFT的输出还需要乘上 1/NV=1/,而不是IN。相应的频谱周期为1/T,见图7-34 只要正确理解翰出值,DF的应用还可以拓展到下面提到的其他一些连续信号处埋范围, 然会自一些小的误差,但只翌N取得足够大,这样的误差是完全可以接受的情况1:非周期时限信号当信号只在一个有限长的吋问内存在,匕如说瞬时响应,只要符合下列条件就可以使用 DIT。不断地重复信号波形来人为构造一个周期函数,必须符合带宽≤MT 氛7章应朋工县箱团:颇分折34 时间离散时间离散率 7 缅蚊因子r→ d) l}01/ 频率图7-34用DFT求座想采样周期信号的傅里叶变换其中,T是信号持续长叟,N是DFT长度。只要符合上述条件,将由DFT输出构成的双边离散频谱和sinc函数 r sinc(f′)相卷,就可以得到所要的原来信号的频谱。图735表示这个时间离散时间离散频率络放因子7 ) 贸率图735用DFT求一有限长带限连纹波形的傅里叶变换。输出结果由卷积得来权由D值得到)用smc函数(厂)和缩放系数7得到 346第二邵分DSP算法工具箱处理过程。变换结果的准确性主要取决于对带限的估计是否准确,也就是存在多少混清。要注意的是,在这种情况下,缩减因子应该是TN=7,其中|N是在将DPT输出转换成傅里叶级数的时候引入的,T由sinc卷积引入当带限条件不满足酎,颊谱就受折叠的影响,所得到的等效频普将是带宄受限、含有绐定样值的一段单周期信号的频谱如果原先的非周期狺号已经被采样了,就有必要根据DFT的翰出生成一个周期频谱。这也妄像以丽邶样和一个sinc函数相卷,但是绵放因f应变为1/T。这样才能保订最终的缩放因子为单位值(见图7-36) 时间 bx 高散时间 tp 离频率 /T 缩放囚子1 频率 7,36用DT求一职想采样的有限长波形(假设是带限的)的里叶变快表78给出一个完整的如何用DFT来分析不同种类信号的总结。另外,它给出了用DF根据不同种类的频谱来推导信号时域特性的结果。图7-37是根据频域响应,用IDFT来确定时域响应的例子。表78F的缩放因子被形种类非期的非周期的、周朗的周期的、连续的样的近续的采样缩放因子DFT T N 缩放因干IFT I/T N T 后处理 1周期与sine(FT sinc(厂选择1调期数或sine(虾) 相卷相卷第7章应用工界病团:频详分析34 离放频率 T 感散时间问缩放因于时间图7-37用DFT减小时域动态响应专特定周期理想的采样频谱响应有关情况2:非相关周期的周期信号当进行DFT的信号段的宽度和信号周期不一致时,通过用DFT定傅里叶级数而构成的信号和原来的信号将有很大的出入(参见图7-38) 想要正珘理解这种惰况下的频谱缙果,就要用到第9介绍的技术。DFT产生频谱和貞实烦谱之间的关系如下; 1}真实频谱用 Wsinc〔w),其中W是信号段的宽度。(这是因为由窗函数造成的泄漏 2)对DFT产生的频谐间隔1W采样。(这考虑到F运算中隐含的时间周期性很明显,如果信号段的长度很长,能容纳原始信号的很多期,则所产生的误差将很小。这里的际约束是可用的数据缓冲的大小以可容纳的DFT的长度。还可以通过选择窗函数来决定误差在整个频谱上的分布状祝。在DFT之前加窗会产生名为“栅栏效应”的现象。这在基于υSP的频谱分析仪中是很常见的。输人个幅值为常数且频率线性增加的正弦波,频谱分析仪中某个频率点的幅值会先递增,达到一个最大值,然后再减小。频率轴上的液动周期由DFT的大小N而定,嘱值由窗乎数的形状控制。图7-39显示的是两种N值的“栅栏效应” 用的分别是矩形窗和海明窗。用71节中的信号特性程序s9_ FD Prop,x会可论证栅栏效应的存在。读者用这个程序将输人si函数的频率从0增邡到2,观察图7-39中频率特性。情况3:随机僧号实际生活中的大多数信号都属于防机过程的范畴,也就是信号只能知道统计特性而不能是前预测可能出现的值。77小节研究的就是这一类型的信号频谱分析。然而在讨论这个之前, 我们先米看一下DT在计算离散时域卷积和相关中的应用 ∫8第二部分DP算法工具箱时间图7-38当信苑小等丁正弦煳期的整数倍时,进行DT处理所得到的体里叶级数系数 a 频率频 ) 频率频平图739榭栏效麻的实例:幅值为常数,止弦输入率在到2之同变化的DF输出宽度是32样值矩形窗:b)宽度是3样值海明窗;c)宽是4样值矩形窗d)宽度是64样值海明窗第7章应用工具顆I:频谱分析349 7.6离散时城卷积和相关 FFT大大提高了信号频域处理的效率。在本节中,我们尝试将-→些时域上的运算故意地转到频域上去处理,看看有什么好处。两个典型的例子是相关和卷积运算。我们从离歡信号的卷积和相关的基本类型开始 76.1离敝信号的线性卷积在第9章中定义了连续信号和离散信号的着积,并说顷一个域上的卷积对应于另外一个域上的乘法。对于离散信号: x,囟这意味着: n2∑不1n-=Y=X(列x 762高散信号的周期相关和卷积紧密联系的是相关。倍号x和信号x的相关定义式如下。如果x和x相同,我们称之为自相关,否则为互相关。自相关的变换叫做功率谱密度,互相关的z变换叫做互谱。 xx=11+)(1=1()x(i- 12(z)=X,2)x2() 线性卷积和非周期相关的处理过程可见图740 5 t 3 1.5 05 5 05 离散时间, 图740线性卷积利非周期卷积:a)和b〕是任意两个离散信号; c)是两者的线性卷积;d)是两者的非期卷积

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