往年线性代数考研试题.pdf 数学一线性代数集锦几何与代数习题打印复印请选双面格式或用废纸·答案

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详细说明：往年线性代数考研试题.pdf 数学一线性代数集锦几何与代数习题打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303seu.edu.cn—张小向3 0001 1000 21数三/四设4 ,1a2a)3a 0100 0010 B PI 0010 P? 0100 其 a 42 1000 0001 中A可逆,则B等于(C) (A)A P1P2. (B)P1A P2.(C)PIP2A. D)P2A PI H數三改A是n阶矩阵,a是n维列向量,若秩秩(4,则线性方程组(D) (A)Ax=a必有无穷多解 (B)4x=a必有唯一解 A A (C) =0仅有零解.(D) 0必有非零解 oy 0|y 4D2款一设有三张不同平面的方程anx+aay+az=b,l=1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张半血可能的位置关系为(B) (B 6D2款三设向量组a,a2a线性无关,向量可由a,a2a线性表示,而向量B不能由a1,a2,a1线性表示则对于任意常数k,必有(A) (A)a,a2,a3,kB1+2线性无关.(B)a,a,a,B-B线性相关 (C)a1,a2,a,月kB线性无关.(①D)a,a,an,B1+k2线性相关 7数三设A是mX矩阵,B是mXm矩阵,则线性方程组(ABx=0(D) (A)当n>m时仅有零解.(B)当n>m时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解.(D)当m>n时必有非零解 8.D2数三设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是A的属于特征佰的特征向量则矩阵(PAP)属于特征值的特征向量是(B) (A)Pa. (B)P a. (C)Pa. D)(P)a 9数叫设AB为刀阶矩阵,A,B“分别为A,B对应的伴随矩阵,分块矩阵C=AO OB,则C的件随矩阵C*=(D) LAJA O (B)/B/B* BB* O AA AB (C) BIA B A (D) 0|A|B* 103数一/设向量组a,a,…,m可由向量组A,B…,B线性表示,则D) (A)当r≤s时,向量组Ⅱ必线性相关.(B)当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关 (C)当r≤s时,向量组I必线性相关.(D)当r>s时,向量组I必线性相关 1因3款设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mxn矩阵,现有4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(4)≥秩(B) ②若秩4)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(4)=秩(B) ④若秩(4)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解以上命题中正确的是(B) (A)①2.(B)①③.(C)②2④.(①D)③④ 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303seu.edu.cn—张小向 a b b 12数三设三阶矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩等于,则必有(c) bb a (A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b≠0. (C)a≠b且a+2b=0.(D)a≠b且a+2b≠0. 133数三设a,a2…,a均为n维向量,下列结论不正确的是(B) (A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,k,都有k1a1+k2a2+….+ka≠0,则an,a2,…,a线性无关 (B)若an,a,…,.以线性相关,则对」任意一组不全为零的数k,k2,…,k,都有k1a+k2a2+…+k、c= 0 (C)a,a,…,a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D)a,a2,…,ax线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 001 143数四设矩阵B=010.已知矩阵A相似于B,则秩(4-2E)与秩(4-E)之和等」(C) 100 (A)2. B)3 (C)4. D)5 5数一设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(D) 010 010 (A)100.(B)101.()100 D 00 64数一/设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(A) (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 17数三烟设n阶矩阵A与B等价,则必有(卫) (A)当4-a(a≠0)时,B-a.(B)当A=a(a≠0)时,B|=-a (C)当4≠0时,B|=0 (D)当A=0时,B=0 18数马设n阶矩阵A的伴随知阵A*≠0,若5点,5,5是齐次线性方程组Ax=b的不相等的解则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(B) (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量 19数一/二三设A,A2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a,a2,则a,A(1+a1)线性无关的充分必要条件是(B) (A)元1≠0. (B)A≠0 (C)A1=0 (D)A2=0 20.05数一/二设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分别为A,B的件随知阵,则(C (A)交换A*的第1列与第2得矩阵B*.(B)交换A*的第1行与第2行得矩阵B ③◇()交换』*的第列与第2列得矩阵-B*.(D交换A*的第1行与第2行得矩阵-B* s款三设矩阵A=(a)3满足A*=A,其中4为A的伴随矩阵,A为A的转置矩阵,若a1,a12a3为三个相等的正数,则au为(A) (A) (B)3 (D)√3 2.15数四设A,B.C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) (AE (B)-E. (C)A (D)-4 23.56数一/股ma2,…,a均为n维列向量,A是mXn矩阵,下列选项正确的是(△ (A)若a1,a,…,w线性相关,则Aa1,Aa,,Aa线性相关 (B)若α,αh,…,以线性相关,则Aa1,Aa,…,4a线性尢关 (C)若a1,a2,…,a线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aa线性相关祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303seu.edu.cn—张小向 (D)若a1,a2…,a线性无关,则Aa,Aa2…,Aa线性无关 24.[6款—仁三设A为3阶舞阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1倍加到第2列得C,记P=1010,则(旦) 001 (A)C=P AP. (B)C=PAP. (C)C=PAP. (D)C=PAP 25款一///四设向量组aa2a2线性无关,则下列向量组线性相关的是(A) 1)a1-a2, (B)al+ a2, a2+a3, a3+ a (C)1-2a2,a-2a3,a-2a1,①D)a1+2m,+2a,a+2a 2-1 l00 26p7数一/闫四设矩阵A--12-1,B=010·则4与B(旦) l-12 000 (A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)既不合同也不相似 278数一/二层/四设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A2=0,则(C) (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-4不可逆,E+A可逆 (C)EA4可逆,E+A可逆 (D)EA可逆,E+A不可逆 28.8数一设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x1y,24y|=1在正交变换下的标准方程的图形如图则A的正特征值个数为(B) (A)0 (B)1. (C)2 (D)3 298数二/三四设A 则在实数域上与4合同的矩阵为(D) -2 2 A) (B) (C) (D) 300数一设a,a2,a是3维向量空间R的一组基,则由基m,a2,a3到基a+a2a2+a,a+a1的过渡矩阵为(A 244 222 (A)220 033 246 4 2 6 3L,p数一/二闫,B为2阶矩阵,,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A=2,B=3,则分块矩/4 IB O 的伴随矩阵为(B O3B非 02B菜 0 34 02A米 A 2A O 3A 0 2B 0 (D) 3B* 0 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303seu.edu.cn—张小向 100 32.⑨款二闫设A,P均为3阶矩阵,P为P的转置矩阵,且PAP=010,若P=(a1,an,a),Q 002 (a-a2,a,a3),则Q4Q为(A) 210 200 100 (A)|110 B)120 (C) (D)|020 002 002 002 002 计算题山数设a,a2…a为线性程组Ax=0的一个基础解系,B=1a+ta2,=a+03,…,B=1a +120,其中1,为实常数.试问t,t满足什么关系时尻,B2…,也为线性方程组Ax=0的一个基础解系解:a,2,,.a为线性方程组Ax=0的个基础解系→a,a2,,.线性无关 t100 0 =1an+0,B2=1a+2g,…,属=1a-121→(月,B,…,B)=(a,,…,a)0121…0 000 00 t 令P=012t…0,则.,B,…,B也为线性方程组4x=0的一个基础解系台月,B2…,B也线 000 性无关台P可逆台P≠0 00 00 000……t2 t10 而P=0241…0=410241…0 0 000 0 (-1)h20042 +(-1) 000 s为偶数时,P|=n3-123,此时角,B2,…,B也为线性方程组Ax=0的一个基础解系令l1≠土1 当s为奇数时,P=1+123,此时B1,B2,…区也为线性方程组Ax=0的个基础解系>1≠-12 2数一知3阶矩阵A与三维向量x使得向量组x,Ax,Ax线性无关,日满足Ax-3Ax-2fx (1)记P=(x,Ax,Ax,求3阶矩阵B使A=PBP (2)计算行刎式A+E 000 解:(1)因为AP=Ax,4x,A2x)=(4x,Ax,Ax)=(4x,A2x,34x-242x)=(x,Ax,42x)103 000 所以B=PAP=103 01-2 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印/复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303asεu.edu.cn—一张小向7 100 2)4+E=P BP+E=P (B+ E)P=PlIB+El P=P.B+E P=B+E 01 0 011 3数三已知矩阵A-10,B=101.且矩阵X满足AX4+BXB=ANB-B4+E,其中E是 3阶单位矩阵,求X. l12 解:A=110|,B=101→4-B=01-1→(4-B)=01 111 l10 00 00 112「1121125 AXA+ BXB=AXB+ BXA+=(A-B)(A-B)=E=X=(A-B)2=011011=012 00100 00 4薮三已知a,aa3a为线性方程组Ax=0的个基础解系,若=a1+1B=a+1a1,B=a+ a4,R4=a4+1a1,讨论实数t满足什么条件时月,B,B,B4也为线性方程组Ax=0的一个基础解系解:ω,a,α3,a4为线性方程组Ax=0的一个基础解系→a1,a,a3,a线性无关 100t 月=a+a,月=a+10,=a+1a,B=a4+11→(A,B,B,A)=(an,a,B,)100 0t10 100t 100 令P=100 t100 t10-t|t10 0t10 P 0t10 0t10t1 00t 月,,B,B4也为线性方程组Ax=0的一个基础解系兮B,B2,B,月也线性无关兮P可逆P≠0今 t≠士1 a 5但数三/四没矩阵A=1a1|,p 已知线性方程组Ax=解但不唯一,试求 (1)a的值.(2)正交矩阵Q使QAQ为对角矩阵. l1a|2+a2+a2+a 解:(1)|=1a1 l1al=(2+a)0 当a≠-2且a≠1时,A4≠0.此时线性方程组Ax=角唯一解 1-2 21×(1) 当a=-2时,(A,月=1-21 1-2 0-330 0000 0000 此时秩(4)=秩(4,B=2<3,线性方程组Ax=有解但不唯 111×(-1) 当a=1时,(A,B=1111 0000 000-3 000 0000 此时秩(4)=1,秩(A,B=2,线性方程组Ax=B无解根据题设条件可知a=-2 A-1-12 24 (-2) 2)E-4=-12+2-1 1A+2-1|=4-12+2-1 2-1 2-12 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303seu.edu.cn—张小向 210x+30=(-3)+3) 0-32-3 由此可得A的特征值为x1=3,A2=-3,43=0. (3E-4x=0的个基础解系为与=(-1,0,1) (-3EA)x=0的一个基础解系为与=(1,-2,1) (0EAx=0的一个基础解系为与=(1,1,1 5,,是两两正交的引=√2,‖=√6,‖=√3 33333 q1=( 0, q 636 6√31 300 Q=(q1,g,q)=0 则Q为正交矩阵且Q4910-30 000 61数三设A为n阶实对称阵,秩()-n,A,是A-(a1)x中元素a的代数余子式(,)-1,2,…,n)2二次型f(x,x2,,x) X.r. (1)记x=(x1,x2,…,x),把x1,x2,…xn)写成矩阵形式,并证明二次型x)的矩阵为A1 (2)二次型g(x)x2Ax与fx)的规范形是否相同?说明理由解:(1)因为A为n阶实对称阵,秩(A)=n,所以A≠0且A可逆.于是由A4*=4E可知A*=441(其中 A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵),而且由 (A-)A=(4)A2=(A)=E=E 叮知(4)=A,即A也是对称矩阵 JAA x,x2,…,x)=∑ 团/4x=(x,x2,…,x)A4… A AA A AA A 其中A|A A, A 由此可见二次型fx)的矩阵为A (2)设A的止负惯性指数分别为p,a,则由秩(A)=n可知p+q=n,于是存在可逆矩阵C使得 C Ac 0-E 其中En,E分别为P阶,q阶单位矩阵.从而有祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303seu.edu.cn—张小向 E o E O CA(C)=CA(C=(CAC) 0-E 0-E 叮见二次型g(x)=xAx与fx)的规范形是否相同 7薮四设a=(an,an,…,an)(=1,2,…,r<川)是n维实向量,且a1,a2,…,a线性无关.已知B=(b 1x1+a12x2+…+a1nx=0, ,D是线性方程组(421+42++2x=0的非零解向量,试判断向量组a,2…的 1 0 线性相关性解:假若α,α2,…,a,线性相关,则由a,a2…,a线性无关可知由a1,a2,…,c1线性衣示,于是可设 A-(a1,a,…,a,B=4 又因为是线性方程组Ax=0的解,即AB=0.从而有所=B=(4)(Ay)=yAAy=yAB=0.这与足是非零向量矛盾!此矛盾表明向量组a,a2,…,a,B是线性无关的 8n款一/三已知4阶方阵A=(a1,,a,a),a,a2,a,D均为4维向量,其中a,a1线性无关,a1=2a a,如果β=a++∞3+a,求线性方程组Ax=的通解解:,,a线性无关→秩(A)=秩(a1,a,a,a)≥3 a=2a2-3→a1,a1,a3,线性相关→秩(4)=秩(an,a2,a3,a1)<4 综上可知秩(4)=3,因而齐次线性方程组Ax=0的棊础解系中只有一个解向量 ax=2a2-∞→a1-2a2+∞+0a=0→=(1,-2,1,0)7是Ax=0的非零解 B=an+a+a3+a4→矿=(1,1,1,1)是Ax=的的特解因而Ax-的通解为n-k(1,2,1,0)1-(1,1,1,1),其中k为任意实数 ax1+bx2+bx3+…+bxn=0 9.款三设齐次线性方程组 bx1+ax2+bx3+…+bxn=0 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时, bx +bx +bx +.tax =0 方程组仅有零解,有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出仝部解,并用棊础解系表示仝部解. ab…ba+(n-1)ba+(n-1)b…:a+(m-1)b b 解:令A= bb 6 b b 0 a-b 0 [a+(n-1)b [a+(n-1 a+(n-1)b](a-b) bb 当a≠(1-n)b且a≠b时,A≠0,此时方程组仪有零解 I-nb b b 当a=(1-m)b时,A= (1-n)b b11 b (1-m)b」×h1 1-n 11 H 0 1-n1 00 00000 00000 00000 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm 打印/复印请选双面格式或用废纸·答案仅供参考·指正解答请发emai至:z990303asεu.edu.cn—一张小向10 11 1 1 0 ,由此可得Ax=0的一个基础解系 00 00 00000 00000 以及通解 x=k(1,1,…,1) 其中k为任意实数 bb 「11 ×(-1)「11 当a=b时,-bb…b× 00 ,由此可得Ax=0的一个基础 bb…b 00 解系 51=(-1,1,0,…,0)},52=(-1,0,1,,0),…,5-1=(-1,0.0,…,1), 以及通解 x=k1(-1,1,0,,)0)+k2(-1,0.1,…,0)°+…,+kn1(-1,0,0,…,1), 其中k1,k2,…,kn1为任意实数 102数三设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=0.已知A的秩4)=2 (1)求A的全部特征值 (2)当k为何值时,矩阵A-kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵. 100 解:(1)A为三阶实对称矩阵→存在正交矩阵Q使得Q4Q1020,其中A,,为A的特征值 00 A的秩r(4)=2→A1,A2,A3中有内个非零,一个为零.个妨设23=0 A2-2A=O→A的特征值满足x2+2=0 (事实上,设≠0且4=12,则(x2+2)2=(42+2A)2=O5=0,因而x2-22=0) 于是得A1=A2=-2 2+k00 (2)由()知Q(4+AE)Q=4kEQ=4Q+E=0-2+k0.因此A+kE为正定 0 0 K 矩阵分k>2 112数四设四元齐次线性方程组(1)为 2x1+3x2-x3=0 x+2x2+x3-x4=0 且已知另一四元齐次线性方程组(I)的一个基础解系为 a1=(2,-1,a+2,1),a2=(-1,2,4,a+8) (1)求方程组()的一个基础解系. (2)当a为何值时,方程组①)与(I)有非零公共解?在有非零公共解吋,求出全部非零公共解 23-10 10-53 解:(1) 23 0 320 32013-2 由此可得方程组()的一个基础解系: 3.2,0,1 (2)方程组()与(I)有非零公共解存在不全为零的数k1,k2使得k1a+k2a2是方程组()解台存在不全为零的数k,0使得(a+1)k1=0 10 1(a+1)k-(a+)k=0°+1-a =0(1+a)2=0 祝您好运! Good luck! http://math.seu.edu.cn/resume/zhangxiaoxiang/index.htm

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