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详细说明：配套博客：https://blog.csdn.net/qq_41739364/article/details/86718524解.事实上,经常需娶比较蛮量的变化趋势在量的方面的差
异,并通过对这些差异的分析,找出它们的内在联系。在这些
差异中,最明显的一个就是变化“速度”的不同。例如。变量
当x→∞时虽都是无穷大量,但是它们趋于∞的“速度”是大不
相同的。事实上,由
lim二〓ca
笼
可见,当x→如时,这三个变量趋于≈的速度是无法相比的
简单地说,x2趋于的速度相对于vx的速度,是一个无穷
大量。相对子x2亦有这种关系。
当然,变量之间这种增长(或变化)“速度的差异,并不
单单存在于无穷大量或无穷小量之间。例如,分别取Gn及b为
计一1
n
vn十1,10g;
b√n+1,n,n,c0(m+2)
测在a与b之间也有
的关系。
为了清楚地表明变量的这种关系,我们引进阶”的概念
定义3若
g(xt)
则称f(x)对于g(x)当x>x0时是无穷小量,记为
f(x)=0(g〔x)),x-xg
若f(X)与g(x)都是无穷大量,则称f(x)是比g(x)低阶的
无穷大量。
若f(x)与g(x)都是无穷小量,则称f(x)是比g(x)高阶的
无穷小量
定义4若
lim
∫(x)
gtx)
则称f(x)与(3)当x→x时是等价的,记为
f(x)g(*), A+xo
例如
5inx~斯一-0;
1~x,x-0
定义5设g(x)0,若存在常数A-0,使得
「(x)≤4(3),%(,b
成立,则称g(x)是f(x)强函数:记为
f(x)=O(g(x)),x∈(《5)
显而易见,改变f(x)与8(x)在有限个点的数值后,上式
仍成立
例如
c0sX=0(1),-c==C
logw=O(s)
x之1
定义6设当x→+0时,f(x)与g(x)都是无穷大量(小
量),且存在常数A=0,B=0,使得
f(x
g〔x)
1
a l
5
≤B
x-T. E(x
f(x)
称f(x)与8(x)当x→x0时是同阶无穷大量(小量
倒如,当”→时
hog(n÷inn)与3log
是同阶无穷大量s
7-1与8
了
是同阶无穷小量。
注意,在定义5与定义6中,常数A、B被称为“大O常
数”,它们与变量x无关。在一般情况下,这点不作特别说明
但是,“大O常数”可能与参变量有关,侧奶,在
sindy=0( 1)
屮,“大O常数”与参数y无关,但在
siny=O(x)
中,“大O常数就与参数y有关,此时我们常用下而的记
xy=O(x)
当然,在不致引超误会,戌这个参数的引进对整个问题的处理
没有影响时,也常赂去不写。
例1设0及A是任意常数,则对于任意的a→0,有
x4==0((1+)),x
(log)=o(x),00
〈2)
∫(x)4=o(et(),男→D
(王3)
其中f(x)是单调上升的函数,且
∫(x)
解设=[x],〔x表示x的整数部分(即是不超过x的最
大整数),=[A÷1,则当x∞时,显然也有-的因
此,当邛≥2m+1时,有
(1+a)2≥>(1+a)≥Cm+1·1~四1
〈m),(m-m)+
11
m
十是
散+1
〔+1)!\2
(1)!2
由于a与都是常数,所以当n→∞时,有
I+c)、
1
牌十1
x42+1(m+1)!(1+x)“22+1(m+1)》
这就证明了:对于怔意的常数4及0,有
】4)
(1十)
取x=y,则上式成为
0
-(1-)t
这就是(11)式
在(14)式中取=E-1,X=E10gy,则
logy)
=0
这就是(
余(12)式中取x=en),则当y→∞时,x→0,因此立
郎可得(1.3)式
第二节O与0的运算
下面,我们给出有关O与o附基本运算法则
法则1若f(x)是无穿大量:%→303而φ(x)=O(1),
则
x)三0(f(x),x-
法则2若f(x)==O(q),g=O(φ)
则
f(c)=O(ψ
法则3若∫(x)=O(9),φ=o(ψ)。
则
∫(x}=0()
法则4O(f)+O(g)=O(+g)
法则5O(f)·O(g)=0:f·g)
法则60(1)0(f)=0(f
法则7O(1)0(f)=D(∫)
法则8O(f)÷0(f)=0(f)
法则90(f)+0(g)=0(|f!+1g|)
法则10a(f)·o(只}=0f
法则11{O(f)}=O4(/),杂是自然数
法则12{0(f)}=0(f
法勋1若f~g,g~q,则
fa
法则14若f-o(g},g~q,则
g~φ±∫。
以上法则都易验证。我们仅举儿条证明如下。其余请读者
补足
法则6的证明:
设limg(x)=0且
g(x)≤Mf(x),x∈(4b)
0≤:lim
I go(x)g(s)
子(x)
≤Mimg(x
即是
g(x)g()==D(f(x)
法则11的证明:
设1g(x)≤M∫(x),x∈(a,b)则当然有
lg(x)|≤M(),x(ab)
即是
(gx)4=O(f(x)),x∈(6)
注意,一般地“大O常数”与砖有关,
上面的基*法则虽然箭单,却使我们能够容易地处理大量
的阶的估计间题。例如,有
当x→∞时,
5x+sinx 5x, 3e*-+x4je's
8e÷x31ogx=O(e");2+in=0()
x
x logx(log logs)=o(xiti)
●命
当x→0时
x2+x=o(x); ylogx+x2(log log)=o(v xt)
e"1ag=o();*cosx+sins=O(*)H
logx「2+5
请注意,在上面的基本运算中,我们没有说到关于反函数
的性质。就是说如果φ(x)与∫(x)都是增函数,g(x)与∫(x)
分别表示它们的反函数,一般说米,山
g(x)=0(∫(x))
不能得到
(x)=0(q(X))
这可从下倒看出:
X〕=E
x
此外,我们强调→于,符号
O(f)或q=0(g)
是不等式,只不过写成等式的形式罢了
第三节几个基本公式及应用
定理7在x的某个邻域内,若/)(x)存在且!∫()(x
≤M,则
f()(x,
k s
(x一x)÷O(x-x0|")
上=
在x0的该邻域内成立
这是Tay1or公式的推论
士定理1立即可以得到下面几个常用的估计式
B
(1)gnx-x-2+O(x5)
X一>
(2)cosx=l
2
O(x4),x→0
(3)10g(1+x)=X-2+O(x3),3→0。
(4)(1+x)°=1+课+0(x2),x→0
5)e=1十x+O(x2),x-0
更一般地,有下面的估计式
若f〔x)满足条件
f(a)
)sinf(x)=∫(%)
+O(|f(x)6),%→‰
(7)9(x)=1-f2(x)+O(f(x),x→x,
〔8)l°g(1+∫(x))=∫()
O.11(3x)13x→
(9)(1+∫(x))“=1-十f(x)十O(f2{x)),x→x
(10)ex)=1+f(x)+O(f2(x)),x-x
例如
log(l+sinx)=sin -+sin'x+o(sinx ),x+0
前面所列举的几个常用的公式,当禁不是仅在A=0的邻
域内才能使用。例如,有
e=1+x0(x2},s~1
c0=1-x2+O(x1),|x1∞。
我们给出估计式(10)的一个简单应用
例2试证明
lim(n-1)l
(15)
g华
证明因为
n s exp(
0g7
+
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