数学分析第一册何琛史济怀徐森林.pdf数学分析第一册何琛史济怀徐森林§1.3B的完备性·

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详细说明：数学分析第一册何琛史济怀徐森林§1.3B的完备性·实数公理 ……………………305 §.4上极限和下极限……………"…"…""t"…3i4 第二节函数的连续性和叮积性 ;*323 §2.1连续响数性质的证明 ■甲甲司■■日加幽會■十1■■|■ 323 致连绒………… ■■■血1口會■■■r 14十↓·P 25 §23数的可积性甲司司甲·b■ n+4M,…n…………33 第一章极限与连续第一节国数 81,1实数和数轴数学中的一个大的分支叫做“分析学"分析学是从“微积分” 开始的.微积分在古代就已可玩其思想的萌芽,直至七世纪才告产生.其后的…百余年中它完全处于混池朦胧的状态,无严格的叙述和论证方法,因此众论紛红,争论不休.直至于九世纪方始玉宇澄清,这是法、徳数学家的贡敝.他们提出了一个明确的“极限”概念,从而使微积分有了清楚的语言.极限是一种运算,是四则运算以外的一种运算:可以叫做“分析运算”。分析学就是以此运算为其基础的.但是,要弄清楚极限的道理,归根到底就是要弄消楚数, 邦么数是什么呢?它又是如何产生的呢?也许大家会认为,这是不成问题的问题.其实不然,像今天这样文明的世界上,尚可找到一些僻的少数民族,他们几乎没有数的概念,貝有少量几个数:1,2,3,或多至4,5.自4,5以上概日为“多”,数的体系是人们在长期的生产和科学实践中逐渐创造出来的,但在很长的时期里,人们对数的认识很不完善,直十九世纪,随着数学各学科的发展人们对数才有了比较完善的数系理论我们说,桶内有5公升水,这话说明桶内水的含量,这个量是由数“5”和单位公升”来共同表达的.所以数是反映量的,是量的抽象.量无非是多寡、长短和大小,是比较出来的.比如说,2匹「,5头羊,这是量的多寡,是可以数的量。似乎可以说,由这种可数量的多寡比较,产生出了自然数1,2,3,…,但自然数远远不足以度量长短,这是因为,长短是连续变化的,这神“连续”的量与上述 “可数”的或“离散”的量有根本区刑.人们想到,规定一个标准长叫做“一尺”,一切长短拿来与这个标准长比较就产生了有尽小数的概念,如3尺2寸5分:即3.25尺.大小就是面积或体积的比较而面积是长度的平方,体积是长度的立方因此要用数反映量, 归根到底,就是要创造出足以反映一切长短的全部数来.也就是说,规定了标准的单位长以后,每一个线段都相应有一数表示其长短,并且数与数的关系能反映线段的长短关系那么有尽小数是否能度量一切线段的长短呢?还是远远不能下面我们就先来讲解这个问题数既然是反映量的,为了反峡量与量之间的关系,就要对数做运算,我们暂且不考虑加减法,而先讨论除法的运算将3尺布平分给5个人,这就要做除法,每人得尺.于是就产生了“分数省P,q是两个无公因子的然数,则是一个分数从分数(除法)又产生有尽小数或无尽循环小数。例如 73.42857 用7除22,除不尽,产生余数1再除,产生余数3如此下去,每次所余以能是0,1、…,6这七个数之一,因此最多除七次必得重复出现的余数.如果重复出现的余数是0,就得有尽小数.现布是得重复出现的非零余数了,因此得循环小数.所以分数都是有尽小数或无尽循环小数反之,一个有尽小数显然可以化为分数,例如 32513 1004 而一个无尽循环小数也一定可以化为分数.例如,记 3i457=3+042857=3十, 则 10%=142857十于是 I42857142857 99999975 所以 3142857=3+ ⊥22 H以上讨论知道:分数都是有尽小数或无尽循环小数,反之东然。所以有尽小数是分数的—部分.那么分数能否度量…切线段的长短呢?仍是远远不能! 我们知道,勾股均为1的直角三角形斜边之长为√2.这个数就不是分数.事实上,设√2为分数: 其中P.q是无公因子的自然数.于是即?2是偶数,所以P也是偶数.设p=2形(b是一白然数),代入上式则得 iT 所以望也是偶数.于是7,9有公因子2,这与P,的假设矛盾,所以2非分徼.由此可见分数不足以度量一切线段的长短、它不能長示勾股均为1的直角三角形箝边之长,因此我们还应补充新的数如果我们用尺去量尺(将5尺4等分),得1尺2寸5分,即得1.25尺.如果我们尺去量尺,得81寸4分2厘8毫 … 5丝…,永远量不尽,即得3.142857尺,如果我们用尺云量匀股均为1尺的互角三角形的斜边,则得尺4寸1分4厘2毫1丝…, 也永远量不尽,并且不会循环,否则2就是分数了,因此我们说 2是一个无尽不循环小数 √2=1.41421… 于是我们看到,用标准长去量一切线段只能出现上述三种情况:量得尽,得长为有尽小数;量不尽,出现循环,得长为无尽循环小数; 量不尽,且不出现循环,得无尽不循环小数,对于第三种情况;我们自然用量得的无尽不循环小数表示该线段之长,也就是说,在分數(有尽或循环小数)的基础上再补充无尽不循环小数,就可度量一切线段之长直至七世纪才开始出现0这个数,为了反映量的盈亏,后来才又出现负数,由运算的角度来看,方程 3x+2-1 在正数范围内无解,这样的方释随处可见,所以必须有0和负数.这是容易理解的.我们把 0,士1,士2 叫儆“整数”.把0和正负分数(整数和是分数)叫做“有理数”所以有理数包括正、负有尽和循环小数.把正、负无尽不循环小数叫做“无理数”.有理数和无理数统称“实数”或简称为“数”有尽小数当然也可以看作特殊的无尽〔循抔)小数例如 125=12500…-1.2499… 这样、实数就是全体无尽小数构造了实数以后,我们就可以建立“数轴”,在直线l(图1)上任取一点(叫做原点,再取定一个线段叫做单位长.以此单位长从原点开始往右量,量得线段OP之长为x,则以x表示P点、叫做 P点的“坐标”以此单位长从原点始往左量,量得线段O号之长为x,则以x表示Q点,叫做Q点的坐标,这样,l上每一点都对应一个数;即该点的巫标,叫做“数轴”.有了数就可以建立平面和空间坐标系,因而就可以建立解析几何学.但要记住,这只有在构造了实数以后才能办到图1 至此,问趣还没有完.数轴上每一点都对成一个实数为其坐标.那么,每一·实数是都是数轴上某点的坐标呢?也就是说,全体实数是否正好铺满整个数轴?要回答这个问题,我们须得承认直线的“连续性”.什么叫做直线的连续性硯?这就是下述的命题直线的连续性:设在直线上有一列带端点的线段A1,A2, 且线段A套在A1之中,4套在A2之中,如此继续下去,并且它们一个比个无限制地缔短(图2)则存在唯一的一点P位于这列线段中的每…个线段上 E题图2 承认了直线的上述连续性以后,便可知每一个实数都在数轴上有一个位置.事实上,当为一有坦数时显然是正确的,但还要证明当a为一无理数时,数轴上也必有一点P以a为其坐标不妨假定∝>0.设 c·a.1俱是一无理数,即是一尽不循环小数,其中a是整数,④1,a,…冬为0,1,…,9中的一个数,并设九争—二:食,■, C1-8, 41 B1=a,a1+ C2=c.a123 B62=a,a12 p中冒鲁■甲昏自看4警■ 4唱■■看 ■斗;↓ψ【中中则a1,B13c2,B2;…都是有理数,即是数轴上的点.设A1是以a1 月1为端点的线段,A2是以2,月2为端点的线段,…则A2套在A1 之中、A3套在A2之中,…并且它们一个比一个无限制地缩短,根据直线的连续性,存在唯一的一点P位于一切A1,A2,…上.易见, P点的坐标就是通过上述方法我们构造了实数,并且指出实数正好铺满整个数轴,我们的月的是要说明两点: 1.由实数可以建立数轴,从而就可以建立平面和空间坐标系,就可以用代数和分析方法研究几何问题(例刻解析几何) 2.既然直线有连续性,则实数也应有相应的连续性,我们无其要说明的,悬这第二点以后我们在第四章中将从无尽小数本身,即不依赖于几何直线来绂现这种连续性,我们将逐渐看到,实数连线性村于徴积分乃至整个分析学有着无比的重要性,是分析学的基础最后我们还要补充说明,上面构造实数的工作是非常初步的和直观的,的只是为了建立数轴,从而说明实数必然要有某种连续性,但并未真正完成构造实数的工作.为什么呢:因为我们根本未曾谈及无尽小数如何做四则运算的呵题,也未曾谈及运算时大小次序的规律.如要真正完成这件工作,就要讲究数的表示方法, 无尽小数是皱数的一种表不方法,这种表示方法在实用中是非堂方便的.例如在计算时都呆用十进制小数;根据所需娶的精确度, 计算到有限位小数.但对于构造实数来说,无尽小数就不是好的表示方法.十九世纪数学家致力解决的就是这个表示方法问题以上我们概述了实数大意。在第四章中我们除了进一步严格讨沦实数的连续性以外,还将简单地介绍实数的公理化方法,那时大家对实数就可以有一个比较完整的认识了 1.回答下列问题: (1)数是用来反映什么的? (2)自然数整数,有理数和无理数各是哪些数?何谓实数 (3)有锂数为什么不够我们应用? (4)实数和直线之间有什么系? (5)什么叫做直线的连续性? (6)相应于直线的连续性,你认为实数应有什么样的连续性? 2,化下列循环小数为分数 (1)02499…,(2)0375,(3)4.518,(4)2.136 3.回答下列问题 (1)0.101001001…是有理数还是无理数? (2)两个无理数之和是否还是无理数? 4.证明下列命题 (1)一个有理数与一个无理数之和…定是无理数 (2)两个不相筝的有理数之间有有理数 (3)两个不相尊的实数之有有堪数,也有无理数 5.证明下列命题: (1)~3是无理数 (2)若是素数,则八P是无理数, 1.2函数我们在中学已经有了“集合”和“函数的概念.集合是一切数学的基础,函数是微积分学的运算和研究对象,它们是至为重要的两个概念,为∫与读者统一语言起见,我们再明确一下这两个概

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