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详细说明：复旦大学曲线曲面课程中关于非均匀有理B样条NURBS曲线的课件。IDAN I
VERSITY
曲线绘制问题
给定n1个数据点,P(x0,y)…,P(xn,yn),生成一个曲线,使该曲线与
这些点所描述的形状相符
如果要求曲线通过所有的数据点一》插值问题一》用于重建数字化表示的
曲线;
如果要求曲线逼近这些数据点一》逼近问题一》主要用于设计美观的或符
合某种美学标准的曲线;
解决上述问题的方法:找到一种用小的部分即曲线段来构建曲线的方法,
以满足设计标准;
曲线和曲线段可以用折线代替,即用非常短的线段绘制;
用曲线段拟合曲线f(x)时,把曲线表示为许多小线段B(x)之和,其中
B(x)称为基(调和)函数;
N
f(r)=a, B,(x)
i=0
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曲线绘制问题
基函数要用于计算和显示,因此经常选择多项式作为基函数。
n次多项式有下列形式,此多项式由它的n+1个系数决定:
Q(x=anx+an-x+.+a,x+ao
连续分段次多项式Q(x)是k个多项式q;(x)的集合,每个多项式是n阶,
且有k+1个节点
0
即
Q(x)=q1(x)jft1≤x≤tl1andi=0,……,k-1
上式要求多项式在节点处连续,即q1-1(t1)=q1(1),讠=1,……,k-1
但多项式在节点处不一定光滑,即在节点处可以有尖角或拐点;
多项式的阶数:
高阶多项式有摇摆特性一》曲线绘制时不是很有用;
最有用的分段多项式为3阶多项式:原因:
达到光滑和令人满意的曲线的最小阶数是3
表示三维曲线所需的最小数字是3;
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常用的参数曲线
Bezier曲线
B样条曲线
非均匀有理B样条( NURBS)曲线
常用参数曲线的等价表示
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常用的参数曲线一 Bezier曲线
1962年,法国雷诺汽车公司的 PE Bezier
1972年, UNISURF系统
定义:
种以逼近为基础的参数曲线;
由一组折线集,或 Bezier特征多边形定义
曲线的起点、终点与多边形起点、终点重合;
多边形的第一个边与最后一个边表示了曲线
在起点和终点的切矢量方向;
形状趋于特征多边形的形状;
图6.2.1 Bezier曲线的例子
给定空间n+1个点的位置矢量:Pi,则 Bezier
曲线各点坐标的插值公式:
C(t)=
B,(t),O≤t≤1
i=0
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常用的参数曲线一 Bezier曲线
Bernstein基函数(曲线上各点位置矢量的调和函数)形式:
n
B (t)=
(1-)y2=C"t(-t)
0.1.
Bernstein调和函数的性质:
)正性:
当满足i=1,2,…,n-1时:
0
t=0,i=1,2,…,n-1
B,(1)=
>0,
t∈(0,1)
鲁
当满足i=n和i=0时
B(0)=B
V, E
(1)=1:Bn(1)=B
(0)=0
M.M
0
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